Tunren : calcul des tunnels par la méthode convergence-confinement

La méthode convergence-confinement, popularisée par Marc Panet à partir des années 70, fait plusieurs hypothèses fortes :

• Les tunnels sont circulaires
• Le massif est homogène isotrope
• Les contraintes initiales sont isotropes
• La profondeur est suffisamment importante pour négliger le gradient de contraintes

Sous l'hypothèse que celles-ci sont vérifiées, la méthode permet d'obtenir une première estimation des performances d'un type de soutènement dans le cadre d'un projet de tunnel. L'outil Tunren met en oeuvre cette démarche de calcul.

Des tutoriels pour ce module peuvent être consultés ici.

Présentation de l'outil

Pour cet outil, pas de bouton de calcul, ceux-ci sont faits en temps réel, sous réserve de données compatibles (module d'Young non nul, rayon non nul, ...). Nous allons passer en revue les différentes options, présentées dans l'onglet "Données".

Hypothèses de base

Cette première partie rappelle à l'utilisateur que les hypothèses sous-tendant la méthode sont fortes : toute transgression conduit potentiellement à une perte du sens physique de la méthode.

Options du calcul

Cette deuxième partie regroupe les options générales de calcul, et d'affichage. Examinons les différentes options proposées :

• Le choix du taux de déconfinement à la pose \(\lambda_d\) peut être dicté par l'un des profils longitudinaux établis dans la littérature, ou être choisi directement par l'utilisateur. Dans ce dernier cas, l'option de calcul implicite n'est plus disponible.
• L'utilisateur peut choisir de prendre en compte l'influence de la rigidité du soutènement sur le déplacement à la pose \(u_d\) et sur le déplacement d'équilibre \(u_s\) à l'aide d'une méthode implicite itérative : la méthode de Nguyen-Minh & Guo (1993). Cette méthode, basée sur sur les résultats de simulations axisymétriques, a cependant tendance à surestimer les efforts dans le revêtement pour des rigidités importantes. Son utilisation conjointe avec la méthode classique semble, d'après de premiers résultats, permettre d'encadrer le déplacement-solution lorsque la plastification reste limitée (\(N_s \leq 3.5\)).
• L'option de calcul à long terme permet d'évaluer l'évolution de la pression de soutènement lors du passage aux paramètres de long terme (fluage), en résolvant un nouvel équilibre ayant pour origine le point d'équilibre court terme.

Les options suivantes concernent l'affichage du graphe de convergence-confinement, plus particulièrement les grandeurs correspondant aux différents axes.

Données générales

Cette partie correspond à la définition du problème physique : contrainte en place, rayon du tunnel, distance minimale front-soutènement \(d_1\) et pas d'avancement \(p\). Les deux dernières options ne sont pas proposées dans le cas d'un déconfinement à la pose arbitraire, puisque le déplacement à la pose est alors entièrement déterminé par cette donnée et par la GRC.

Dans le cas contraire où l'on s'appuie sur une LDP, il existe deux manières de calculer \(d\) :

• A partir de la moyenne des distances \(d_1\) et \(d_1+p\). Cette méthode, bien que reposant sur une approximation, est la plus usitée.

\[ d = d_1 + \frac{p}{2} \]

• A partir du déplacement moyen entre \(d_1\) et \(d_2=d_1+p\). Cette méthode consiste à calculer le déplacement moyen entre les deux valeurs extrêmes de distance non soutenue, et à déduire de celui-ci la distance au front correspondante pour la LDP.

\[d \text{ est l'unique distance vérifiant } \text{LDP}(d) = \frac{1}{d_2-d_1} \int_{d_1}^{d_2} \text{LDP}(x) \text{ } \mathrm{d}x \]

L'une et l'autre des options donnent des résultats relativement similaires dans les cas courants.

Terrain

L'option critique pour le terrain est le choix de la loi de comportement. A noter également que tous les paramètres sont doublés en cas d'activation de l'option de calcul à long terme.

• En élasticité, seuls le module d'Young \(E\) et le coefficient de Poisson \(\nu\) sont proposés.
• En élastoplasticité de Mohr-Coulomb, la cohésion \(c\), le frottement \(\varphi\) et la dilatance \(\psi\) gouvernent le comportement anélastique.
• En élastoplasticité de Hoek-Brown, le GSI, le paramètre \(m_i\), la résistance intacte en compression simple \(\sigma_i\) et l'endommagement \(D\) permettent de cacluler les paramètres \(m_b\) et \(\sigma_c\). A noter que l'exposant \(a\) est considéré égal à 1/2 (condition pour obtenir une formulation analytique complète).

Pour Hoek-Brown à court terme, un assistant de choix du module du massif rocheux est proposé, selon les trois méthodes proposées par Hoek & Diederichs (2006).

Renforcement

Le choix des renforcements aboutit à la détermination pour le court et le long terme de deux paramètres : la rigidité normale \(K_{sn}\) qui traduit l'augmentation de la force exercée par le soutènement en fonction de la déformation orthoradiale, et la pression limite de soutènement \(p_{s,max}\). Ces variables sont globales, en ce qu'elles sont prises égales à la somme des contributions de chacun des composants. En particulier, toutes les raideurs contribuent à la raideur globale tant que la contrainte est inférieure à la pression maximale globale. Au-delà de ce seuil, la contrainte est prise égale à \(p_{s,max}\). Il n'y a ainsi pas de plastification différenciée, avec des soutènements faibles qui plastifieraient avant les autres.

Outre la possibilité de choisir des paramètres manuels, quatre types de soutènement sont proposés :

• Anneau en béton
• Cintres métalliques
• Voussoirs
• Boulonnage à ancrage ponctuel

Notons qu'une manière d'introduire l'influence d'un boulonnage à ancrage réparti serait de modifier la GRC par le biais de calculs par différences finies. Toutefois, il apparaît que l'action de soutènement du boulonnage est plutôt faible devant celle des autres types de soutènement : la mission première du boulonnage est d'assurer la stabilité, et par suite le comportement élastoplastique modélisé. Cette fonctionnalité n'est donc pas intégrée.

Remarque importante pour le coefficient de sécurité : Dans la version actuelle, conformément au tableur Tunren préexistant, le coefficient de sécurité sur le béton ou l'acier est inférieur à 1 (à l'inverse du formalisme Eurocode donc) :

\[f_{d} = \gamma_S \times f_k\]

Export des données

Cette option permet l'export d'un fichier de sauvegarde, au format JSON ou XLSX, qui peut être réimporté depuis l'onglet "Général". Il ne s'agit en aucun cas d'un fichier de présentation des données ou de présentation des résultats. En particulier, il stocke la valeur des boutons cachés/non pertinents (e.g une valeur de cohésion par défaut même si l'utilisateur choisit de travailler avec un matériau de Hoek-Brown).

L'utilisateur souhaitant récupérer les entrées pertinentes dans une feuille de calcul peut sélectionner les lignes souhaitées dans l'onglet "Tableau de données" et les télécharger. Idem pour les sorties.

L'onglet "Rapport"

Comme pour les autres outils, l'intégration des composants essentiels est proposée au sein du rapport. Ils sont au nombre de trois :

• Courbe convergence-confinement
• Tableau de données
• Tableau de résultats

---

Notice technique

Hypothèses et notations

Hypothèses de la méthode convergence-confinement

La méthode convergence-confinement ne s'applique en toute rigueur qu'à une classe spécifique de problèmes, dont les caractéristiques sont les suivantes :

• Tunnel cylindrique circulaire.

• Isotropie de contraintes (\(K_0 \approx 1\) & \(\Delta \sigma \ll \sigma\)).

• Massif homogène et isotrope.

La viscoplasticité n'étant pas introduite à ce stade, on néglige également tous les effets différés. La présence de la nappe n'est pas non plus prise en compte.

En outre, de nombreuses relations empiriques/numériques nécessitent :

\[N_s \leq 5\]

Notations employées et paramétrage retenu

Les axes sont paramétrés de la façon suivante :

Géométrie, axes et paramétrage du tunnel retenus

Les notations adoptées sont récapitulées dans le tableau suivant :

Notation	Grandeur
\(R\)	Rayon du tunnel
\(R_p\)	Rayon plastique associé au déconfinement \(\lambda\)
\(R_{p,\text{max}}\)	Rayon plastique maximal (\(\lambda=1\))
\(\sigma_0\)	Contrainte isotrope initiale
\(u_R\)	Déplacement radial pariétal
\(\sigma_R\)	Contrainte radiale pariétale
\(u_0\)	Déplacement au front (tunnel non soutenu)
\(u_{s0}\)	Déplacement au front (tunnel soutenu)
\(u_d\)	Déplacement à la pose du soutènement (t. non soutenu)
\(u_{sd}\)	Déplacement à la pose du soutènement (tunnel soutenu)
\(u_\infty\)	Déplacement loin du front de taille (tunnel non soutenu)
\(u_{s\infty}\)	Déplacement loin du front de taille (tunnel soutenu)
\(u_\text{eq}\)	Déplacement solution de l'équilibre GRC-SRC
\(\lambda_e\)	Déconfinement limite d'élasticité
\(\lambda_d\)	Déconfinement à la pose du soutènement
\(\lambda_\text{eq}\)	Déconfinement d'équilibre
\(E\), \(G\), \(\nu\)	Paramètres mécaniques du massif
\(K_\text{sn},K_\text{sf}\)	Rigidités normale et de flexion du soutènement

Pour les calculs élastoplastiques, sont également introduites les notations suivantes. En élastoplasticité de Mohr-Coulomb :

\[K_p = \frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi} \quad \text{ et } \quad \sigma_c = \frac{2c\cos\varphi}{1-\sin\varphi} \quad \text{ et } \quad N_s = \frac{2\sigma_0}{\sigma_c}\]

En élastoplasticité d'Hoek-Brown :

\[N_s = \frac{2\sigma_0}{\sqrt{\sigma_\text{ci}^2-m_b\sigma_\text{ci}\sigma_y}}\]

\[\text{où } \quad \sigma_y = \frac{-m_b\sigma_\text{ci}}{8} - \sigma_0 + \frac{\sigma_\text{ci}}{2} \sqrt{\frac{m_b^2}{16}+\frac{m_b\sigma_0}{\sigma_\text{ci}}+1}\]

Enfin, \(\psi\) désignera l'angle de dilatation, gouvernant la règle d'écoulement plastique.

Principe de la méthode

Concept de déconfinement

Le creusement d'un tunnel est un problème fondamentalement tridimensionnel, la présence du front de taille influençant les contraintes et déplacements mesurés à l'arrière de celui-ci.

Dans les années 1970, Panet popularise en France une méthode qui permet de rendre compte de cet effet en introduisant une pression fictive dans un problème en déformations planes : la pression de déconfinement. Le taux de déconfinement correspond alors à la part de la contrainte initiale qui a été déconfinée.

Notion de pression de déconfinement, d'après Panet

Objectif

Trouver la pression équivalente \(p_d\) qui, appliquée sur les parois du tunnel en déformations planes, permettrait de retrouver le déplacement radial mesuré à la pose du soutènement.

\(\rightarrow\) Via le comportement du soutènement, il est alors possible de calculer la pression d'équilibre du tunnel.

Les trois courbes de la CV-CF

Sous sa forme originale, la méthode associe trois courbes :

• La LDP (Longitudinal Displacement Profile), qui associe à une distance \(x\) du front de taille le déplacement radial \(u_R\).
• La GRC (Ground Reaction Curve), qui associe à un déplacement radial la poussée exercée par le massif.
• La SCC (Support Confinement Curve) ou encore SRC (Support Reaction Curve), qui associe, à un déplacement radial depuis la pose, la poussée que reprend le soutènement.

L'équilibre peut alors être lu graphiquement. Le déplacement à la pose du soutènement est obtenu à partir de la distance non soutenue (\(\varphi\) paragraphe suivant) et de la LDP. La SRC est alors tracée à partir de ce point, et l'intersection de celle-ci avec la GRC donne l'état d'équilibre.

Les trois courbes de la méthode convergence-confinement.

Distance non soutenue

Lors du creusement d'un tunnel, deux distances caractérisent le mode d'avancée. La première, assez intuitive, est le pas de creusement \(p\), qui représente l'avancée du tunnel entre la pose de deux éléments soutènement.

La seconde est la distance de pose du soutènement \(d_1\), qui correspond à la distance du soutènement au front de taille à la pose de celui-ci.

Panet [Panet, 1995] définit alors la distance non soutenue comme la moyenne de \(d_1\) et \(d_2 = p + d_1\), et c'est à cette distance qu'est évalué le déconfinement à la pose du soutènement .

\[d = d_1 + \frac{p}{2}\]

Phasage classique d'excavation, d'après Panet

Remarque

En toute rigueur, il faudrait plutôt calculer la moyenne de la fonction de forme entre les distances \(d_1\) et \(d_2\). La relation précédente n'est valable que pour un pas de creusement faible. L'outil Tunren permet à l'utilisateur d'adopter cette démarche.

Les différentes GRC

Nota

Pour le détail des démonstrations, le lecteur pourra utilement se référer à la bibliographie. Dans le cadre de cette notice technique, il s'agit simplement de présenter les relations utilisées par le programme.

Pour toutes les GRC élastoplastiques, l'hypothèse sous-jacente est \(\sigma_{rr} < \sigma_{zz} < \sigma_{\theta\theta}\).
Dans le cas de calculs Plaxis avec prise en compte du poids, un facteur \(K_0=1\) permet d'assurer cette condition.

Lorsque cependant le matériau est de poids nul, la seule manière d'imposer la valeur de la contrainte hors plan est l'utilisation d'une procédure initiale field stress.

Le matériau élastique

En élasticité linéaire, la solution de Lamé en déplacements s'écrit [Panet, 1995] :

\[u_r = \lambda \frac{\sigma_0}{2G} \frac{R}{r}\]

Or, \(\sigma_R = (1-\lambda)\sigma_0\), d'où :

\[\frac{\sigma_R}{\sigma_0} = 1 - \frac{2G}{\sigma_0} \frac{u_R}{R}\]

En élasticité linéaire, la loi de convergence du massif (GRC) est donc affine, et permet d'obtenir directement la contrainte associée à chaque déplacement.

Notion d'anneau plastique

Lorsqu'un critère de plasticité est associé au matériau, au-delà d'un certain seuil de déconfinement, deux zones apparaissent : Un anneau englobant la paroi, dans lequel le matériau a plastifié, entouré d'un milieu élastique.

Schéma de principe : Anneau de plastification.

Au-delà d'un déconfinement-seuil \(\lambda_e\) obtenu à l'aide du critère de plasticité, cet anneau plastique apparaît à partir de la paroi, et la loi n'est plus affine.

Le matériau de Mohr-Coulomb

Pour le matériau de Mohr-Coulomb, le critère peut s'énoncer :

\[\sigma_1 - K_p \sigma_3 - \sigma_c \leq 0\]

Avec les notations déjà introduites, le déconfinement limite d'élasticité s'écrit :

\[\lambda_e = \frac{1}{K_p+1}\left(K_p-1 + \frac{\sigma_c}{\sigma_0} \right)\]

Le rayon plastique, une fois ce déconfinement dépassé, est calculé via [Panet, 1995] :

\[\frac{R_p}{R}=\left( \frac{2\lambda_e}{(K_p+1)\lambda_e -(K_p-1)\lambda} \right)^{ \frac{1}{K_p-1}}\]

En résolvant complètement le problème élastoplastique, il est possible d'obtenir l'expression des déplacements pariétaux en fonction de \(R_p\). La GRC \(\sigma_R(u_R)\) est alors une fonction implicite de \(\lambda\) [Panet, 1995] :

\[\begin{cases} \sigma_R = (1-\lambda)\sigma_0 \\[10pt] \displaystyle \frac{2G}{\sigma_0} \frac{u_R}{R} = \lambda_e \left[F_1 + F_2 \left(\frac{R}{R_p} \right)^{K_p-1} + F_3 \left(\frac{R_p}{R} \right)^{K_\psi+1} \right] \\ \end{cases}\]

Avec :

\[\begin{cases} \displaystyle F_1 = -(1-2\nu) \frac{K_p+1}{K_p-1} \\[10pt] \displaystyle F_2 = 2 \frac{1+K_\psi K_p - \nu (K_p+1)(K_\psi + 1)}{(K_p-1)(K_\psi+K_p)} \\[10pt] \displaystyle F_3 = 2(1-\nu) \frac{K_p+1}{K_p+K_\psi} \end{cases}\]

Remarque

Dans la précédente version de Tunren commercialisée par Terrasol, la GRC implémentée pour Mohr-Coulomb n'était pas celle-ci, mais celle obtenue par simplification en considérant les déformations élastiques nulles dans la zone plastique.
Or, elles ne sont pas tout à fait négligeable. L'outil actuel est donc plus précis de ce point de vue. Pour mémoire, la relation était :

\[u_R^\text{Tunren v.3} = \frac{\sigma_0R}{2G} \lambda_e \frac{2 \left(\frac{R_p}{R} \right)^{K_\psi+1} + K_\psi - 1}{K_\psi+1}\]

Le matériau de Hoek-Brown

Dans le cas où le GSI est supérieur à 25, il est possible d'exprimer le critère de Hoek & Brown via [Carranza-Torres, 1999] :

\[\sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_\text{ci} \sqrt{m_b \frac{\sigma_3}{\sigma_\text{ci}} + s}\]

\[ \text{Où } \begin{cases} \displaystyle m_b = m_i \exp \left( \frac{GSI-100}{28-14D} \right) \\[10pt] \displaystyle s = \exp \left( \frac{GSI-100}{9-3D} \right) \\[10pt] \end{cases} \]

Attention

Par rapport à la formulation implémentée dans Plaxis, on note que la puissance \(a\) est prise indépendante du GSI et égale à 1/2. C'est la seule façon d'obtenir une expression analytique pour les déplacements [Carranza-Torres, 2004].

Carranza-Torres [Carranzza-Torres, 2000] propose de normaliser ce critère, ce qui permet d'écrire :

\[S_1 = S_3 + \sqrt{S_3} \quad \text{ où } \quad S_k = \frac{\sigma_k}{m_b\sigma_\text{ci}} + \frac{s}{m_b^2}\]

Introduire des taux de déconfinement alourdit considérablement l'écriture, il est plus direct de raisonner en termes de pression interne \(p_i\), et en limite d'élasticité \(p_i^\text{cr}\).

Ainsi, la pression critique normalisée \(P_i^\text{cr}\) s'écrit [Carranza-Torres, 2000] :

\[P_i^\text{cr} = \frac{1}{16} \left(1-\sqrt{1+16S_0} \right)^2\]

Le rayon plastique se déduit facilement de l'équilibre (différentielle d'une racine carrée) [Carranza-Torres, 2000] :

\[R_p = R \exp \left( 2( \sqrt{P_i^\text{cr}} - \sqrt{P_i}) \right)\]

L'expression des déplacements est donnée par [Carranza-Torres, 2000] :

\[\begin{split} \frac{u_r}{r} \frac{2G}{\sigma_0 - p_i^\text{cr}} = & \frac{K_\psi-1}{K_\psi+1} + \frac{2}{K_\psi+1} \left( \frac{R_p}{r} \right)^{K_\psi+1} \\[10pt] & + \frac{1-2\nu}{4(S_0-P_i^\text{cr})} \ln \left( \frac{R_p}{r} \right)^2 \\[10pt] & - \bigg[ \frac{1-2\nu}{K_\psi+1} \frac{\sqrt{P_i^\text{cr}}}{S_0-P_i^\text{cr}} \\[10pt] & + \frac{1-\nu}{2} \frac{K_\psi-1}{(K_\psi+1)^2} \frac{1}{S_0-P_i^\text{cr}} \bigg] \\[10pt] & \times \bigg[(K_\psi+1) \ln \left( \frac{R_p}{r} \right)\\[10pt] & - \left( \frac{R_p}{r} \right)^{K_\psi+1} +1 \bigg] \end{split}\]

Les différentes LDP

Le principe de similitude de Corbetta

La plupart des anciennes LDP sont définies à partir de simulations élastiques. Pour les étendre aux situations plastiques, François Corbetta [Corbetta, 1990] observe que les profils longitudinaux de convergence plastiques se déduisent des profils élastiques par une simple homothétie de centre \(O\).

Si \(u_R^\text{el}\) désigne le profil élastique, et \(u_R^\text{ep}\) le profil élastoplastique, il propose ainsi de considérer que :

\[u_R^\text{ep}(x) = \frac{1}{\xi} u_R^\text{el}(\xi x) \quad \text{ où } \quad \xi = \frac{u_\infty^\text{el}}{u_\infty^\text{ep}}\]

Les LDP implémentées ici et concernées par ce principe sont celles de Panet et Corbetta. Les \(u_\infty\) sont déduits de la GRC pour \(\lambda=1\).

Énoncé des LDP

En élasticité, on a \(\xi = 1\).

• Loi de Panet [Panet, 1995] :

  \[u_R(x) = \frac{1}{\xi} [\alpha_0 + (1-\alpha_0)a(x)] \frac{\sigma_0R}{2G}\]

  Où \(\displaystyle a(x) = 1-\left(\frac{mR}{mR+\xi x} \right)^2\)

  Panet propose deux jeux de couples \((\alpha_0,m)\) : \((0.25,0.75)\) et \((0.27,0.84)\).

• Loi de Corbetta [Corbetta, 1990] :

  \[u_R(x) = \frac{1}{\xi} \frac{\sigma_0R}{2G} \left[ 0.29 + 0.71 \times \left(1- e^{-1.5(\xi x/R)^{0.7}} \right) \right]\]

  Valable en élasticité et en élastoplasticité de Mohr-Coulomb.

• Loi de Chern et al. [Chern et al., 1998] :

  \[u_R(x) = u_\infty \times \left(1+e^{\frac{-x}{1.1R}} \right)^{-1.7}\]

  Calée sur des mesures in situ, pour des comportements élastoplastiques.

• Loi de Unlu et Gercek (élastique) [Unlu & Gercek, 2003] :

  \[u_R(x) = u_0 + \begin{cases} A_a\left(1-e^{B_ax/R}\right) u_\infty & \text{si $x<0$}\\[5pt] A_b\left(1-\left[\frac{B_b}{B_b+x/R} \right]^2 \right)u_\infty & \text{si $x>0$} \end{cases}\]
  \[A_a = -0.22\nu-0.19 \text{ ; } B_a = 0.73\nu + 0.81 \text{ ; }\]
  \[A_b = -0.22\nu+0.81 \text{ ; } B_b = 0.39\nu + 0.65 \text{ ; }\]
  \[u_0 = (0.22\nu+0.19)u_\infty\]

• Loi de Vlachopoulos & Diederichs [Vlachopoulos & Diederichs, 2009] :

  \[u_R(x) = \begin{cases} u_0 e^\frac{x}{R} & \text{, $x<0$} \\[5pt] u_\infty -(u_\infty - u_0) e^{- \frac{3x}{2R_{p,\text{max}}}} & \text{, $x>0$} \\ \end{cases}\]

  Où \(\displaystyle u_0 = \frac{1}{3} u_\infty e^{-0.15\frac{R_{p,\text{max}}}{R}}\).

Les différents types de soutènements

Les formules développées dans la version n°3 de Tunren sont reprises dans cette partie. Elles sont issues de [Panet, 1995], sauf pour l'anneau de béton, où l'hypothèse de coque mince n'est pas nécessaire. Les équations de la MMC donnent facilement le résultat, on pourra se référer par exemple à [Labriolle, 2017]. Aussi, les deux grandeurs d'intérêt sont \(K_{sn}\) et \(p_{s,\text{max}}\), à obtenir pour la somme des soutènements.

Dans l'objectif de pouvoir utiliser la relation de Minh-Guo, l'outil ne s'intéresse pas à des soutènements successivement installés à des distances différentes du front de taille.

• Anneau de béton
• Boulonnage à ancrage ponctuel
• Cintres métalliques
• Voussoirs

Le boulonnage à ancrage réparti n'est possible qu'en utilisant une solution en différences finies (non intégrée pour le moment à Tunren).

Anneau de béton

Les équations de la MMC pour le cylindre creux donnent \(K_b\), Tresca sur face interne donne \(p_{s,b}\).

\[K_{b} = \frac{E_b(R_e^2-R_i^2)}{(1+\nu_b)[(1-2\nu_b)R_e^2+R_i^2]}\]

\[p_{s,b} = \frac{1}{2} [f_c(t)\times F_{S,b}] \times \left( 1 - \frac{R_i^2}{R_e^2} \right)\]

A noter que dans l'outil, le rayon externe \(R_e\) est assimilé directement au rayon du tunnel (et on pose \(e = R_e - R_i\)).

Le choix de \(E_b\) est laissé à l'utilisateur, mais il est en général pris à 30 GPa pour du béton coulé, et 10 GPa pour du béton projeté.

Schéma de principe : Anneau en béton

Cintres métalliques

Les cintres sont de module \(E_a\), de section \(A\), et d'espacement \(\Delta x\). En notant \(f_y\) la limite de l'acier :

\[K_c = \frac{E_aA}{R\Delta x}\]

\[p_{s,c} = \frac{F_{S,a}f_y \times A}{R\Delta x}\]

Voussoirs

La formule pour la raideur des voussoirs est adaptée de celle de l'anneau de béton, avec un module équivalent.

\[E_v = \frac{\alpha}{\alpha(1-\beta)+\beta} E_b\]

\(\alpha\) et \(\beta\) sont tels que \(\alpha e\) correspond à l'épaisseur d'un joint, et \(\frac{2\pi}{n}\beta\) est l'angle correspondant à un joint.

En posant \(R_\pm = R_e + \frac{e}{2} (\pm \alpha - 1)\), on a :

\[p_{s,v} = [f_c(t)\times F_{S,b}] \times \frac{R_+^2-R_-^2}{R_+^2+R_-^2}\]

Schéma de principe : Voussoirs et joints

Boulonnage à ancrage ponctuel

Information

Il n'existe pas de méthode pour traiter analytiquement le cas d'un massif renforcé par des boulons à ancrage continu. Dans la littérature, on propose l'utilisation de schémas de différences finies dans l'objectif d'établir une GRC modifiée par la présence du boulon. Le schéma de différences finies a été implémenté en interne, mais pas relié à Tunren (influence faible sur la raideur).

Le seul type de boulonnage implémenté est le boulonnage à ancrage ponctuel. La raideur de ce soutènement est calculée via :

\[\frac{1}{K_b} = \frac{e_t e_l}{R} \left[Q + \frac{4L}{\pi d^2 E_a} \right]\]

• \(e_l\), \(e_t\) les espacements dans la direction longitudinale et circonférentielle resp.
• \(Q\) est la caractéristique de charge - déformation des différentes pièces du boulon (\(Q = S_b/T_b\)).

On peut également calculer la pression maximale de soutènement associée, en notant \(d\) le diamètre du boulon, via :

\[p_{s,b} = \frac{F_{S,a}f_{y}\times \pi d^2}{4e_t e_l}\]

Les méthodes implicites

La méthode convergence confinement classique est basée sur la courbe de convergence du tunnel non soutenu, souvent obtenue par les auteurs à partir de simulations numériques. Il est cependant à noter que le soutènement à l'arrière du front a tendance à modifier le profil longitudinal de convergence : le tunnel ne connaît en fait jamais le déplacement maximal associé à \(\lambda=1\).

Différentes solutions existent dans la littérature, on recense les principales solutions proposées :

• La nouvelle méthode implicite de Bernaud et Rousset [Bernaud & Rousset, 1992, 1995]. Les deux auteurs proposent de modifier le profil de déplacement longitudinal en fonction de la rigidité du soutènement, puis de résoudre le système pour obtenir le déplacement à l'équilibre et à la pose du soutènement.
• La méthode implicite de Nguyen-Minh & Guo [Nguyen-Minh & Guo, 1993, 1998]. Ces deux auteurs proposent plutôt d'utiliser une relation universelle entre les déplacements relatifs soutenu-non soutenu à la pose du soutènement et à l'équilibre.
• La nouvelle méthode convergence-confinement d'Oke, Vlachopoulos & Diederichs [Vlachopoulos et al., 2018]. Cette méthode itérative propose de déterminer une nouvelle LDP soutenue en fonction du déplacement maximal soutenu, dont on s'approche à chaque pas.

La dernière méthode ne semble pas aboutir à des résultats probants, et les fits de certains paramètres très dispersés nous laissent dubitatifs. La méthode de Bernaud et Rousset donne des déplacements à l'équilibre parfois plus importants que la méthode classique, probablement à cause de la loi de comportement utilisée, assez ancienne (1976).

Seule la méthode de Nguyen-Minh & Guo est donc implémentée : en plus de donner des résultats cohérents avec nos simulations numériques, Panet dans la réédition de son ouvrage la présente comme la méthode implicite donnant les meilleurs résultats.

On présente tout de même à titre informatif la démarche de Bernaud et Rousset, avant de se concentrer sur la méthode de Nguyen-Minh et Guo.

La méthode de Bernaud et Rousset

Les auteurs conservent la GRC et la SRC. La LDP non soutenue est une ancienne forme proposée par Panet dans les années 1970, et la méthode se base sur les trois équations suivantes :

\[\begin{cases} p_\text{eq} = \text{CV}(u_R^\text{eq}) \\[10pt] \displaystyle p_\text{eq} = K_\text{sn} \frac{u_R^\text{eq}-u_d}{R} \\[10pt] u_{sd} = a^s(d) \times (u_R^\text{eq} - u_0) + u_0 \\[10pt] \end{cases}\]

La fonction de forme \(a^s\) se déduit de la fonction de forme non soutenue \(a^0\) par le biais d'un coefficient \(\alpha\) dépendant de la loi de comportement adoptée, et de la rigidité du soutènement.

\[a^s(x) = a^0(\alpha x) \text{ où } a^0(x) = 1 - \left(\frac{0.84R_p}{x+0.84R_p} \right)^2\]

Pour calculer \(\alpha\), la grandeur \(\alpha^* = \alpha R/R_p\) est introduite. Après des calages, en notant \(K'_s = K_\text{sn}/E\), la relation suivante est proposée :

\[\alpha^* = 1.82 \sqrt{K'_s} + 0.035 \varphi \times \delta_\text{Loi=MC} + 0.15 m_b \times \delta_\text{Loi=HB}\]

Reste alors seulement à caractériser \(u_0\), pour pouvoir procéder aux calculs. En cas élastique, Bernaud et Rousset proposent \(u_0 = 0.27 \times \sigma_0R/2G\).

En élastoplasticité (Mohr-Coulomb ou Hoek-Brown), ils proposent :

\[u_0 = (0.413-0.0627N_s)u_\infty\]

Le problème peut alors se réduire à la recherche d'une inconnue (\(u_R^\text{eq}\)), obtenue par exemple par dichotomie. Les autres inconnues sont ensuite déduites de cette donnée de l'équilibre.

La méthode de Nguyen-Minh et Guo

En 1993, Nguyen-Minh et Guo découvrent une relation universelle permettant de prendre en compte la rigidité du soutènement.

Ils mettent ainsi en relation le rapport des déplacements à la pose \(u_d^* = u_{sd}/u_d\) avec le rapport des déplacements d'équilibre \(u_\infty^* = u_{s\infty}/u_\infty\) :

\[\mathcal{G}(u_d^*,u_\infty^*) = u_d^* - 0.55 - 0.45 u_\infty^* + 0.42 (1-u_\infty^*)^3 = 0\]

Le schéma de résolution s'appuie alors sur cette fonction, et on procède par dichotomie. On peut réduire le problème à la détermination d'un paramètre, via l'égalité GRC = SRC à l'équilibre.

Le schéma de résolution est présenté ci-dessous.

Logigramme méthode implicite de Nguyen-Minh & Guo

Assistant pour le module de Hoek-Brown

Tunren propose un assistant pour calculer le module du massif rocheux, à l'aide des formules proposées par Hoek & Diederichs [Hoek & Diederichs, 2006].

Ils proposent trois méthodes :

• A partir du modèle intact :

\[E_\text{rm} = E_i \left(0.02 + \frac{1-D/2}{1+\exp[(60+15D-\text{GSI})/11]} \right)\]

• A partir de la résistance compressive uniaxiale. Hoek & Diederichs proposent d'obtenir le module à partir du\(\sigma_\text{ci}\) à partir d'un facteur de proportionnalité MR, appelé Modulus ratio.

\[E_\text{rm} = \text{MR} \times \sigma_\text{ci}\]

Les auteurs proposent pour différentes roches (caractérisées par leur nature, leur texture, et leur mode de formation) une valeur moyenne MR et un écart-relatif \(\Delta\)MR pour ce facteur. Dans Tunren, l'utilisateur est invité à choisir un type de roche et un facteur barycentrique \(t\). En notant \(\text{MR}_\pm=\text{MR}\pm\Delta \text{MR}\), le modulus ratio de calcul est défini par la relation :

\[\text{MR} = \text{MR}_+ \times t + \text{MR}_- \times (1-t)\]

• Par une *formule simplifiée :

\[E_\text{rm}\text{(MPa)} = \frac{100000 \times (1-D/2)}{1+\exp [(75+25D-GSI)/11]}\]

Bibliographie

Caquot, Kérisel, Traité de mécanique des sols, Gauthier-Villars (1956)

Corbetta, Nouvelles méthodes d'étude des tunnels profonds : Calculs analytiques et numériques, Thèse (1990)

Corbetta, Bernaud, Nguyen Minh, Contribution à la méthode convergence-confinement par le principe de la similitude, Rev. Franç. Géotech. n°54 (1991)

Bernaud, Rousset, La nouvelle méthode implicite pour l'étude du dimensionnement des tunnels, Rev. Franç. Géotech. n°60 (1992)

Panet, Le calcul des tunnels par la méthode convergence-confinement, Presses de l'École nationale des ponts et chaussées (1995)

Bernaud, Benamar, Rousset, La nouvelle méthode implicite pour le calcul des tunnels dans les milieux élastoplastiques et viscoplastiques, Rev. Franç. Géotech. n°68 (1994)

Nguyen Minh, Guo A new approach to convergence confinement method, (1998)

Chern, Shiao, Yu, An empirical safety criterion for tunnel construction, Proceedings of the Regional Symposium on Sedimentary Rock Engineering, Taipei (1998)

Carranza-Torres, Fairhurst, The elasto-plastic response of underground excavations in rock masses that satisfy the Hoek-Brown failure criterion, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. (1999)

Carranza-Torres, Fairhurst, Analysis of tunnel support requirements using the Convergence-Confinement method and the Hoek-Brown rock failure criterion, Proceedings of GeoEng2000 (2000)

Unlu, Gercek, Effect of Poisson's ratio on the normalized radial displacements occuring around the face of a circular tunnel, Tunneling and Underground Space Technology 18 (2003)

Carranza-Torres, Elasto-plastic solution of tunnel problems using the generalized form of the Hoek-Brown failure criterion, (2004)

Hoek, Diederichs, Empirical estimation of rock mass modulus, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. (2005)

Vlachopoulos, Diederichs, Improved Longitudinal Displacement Profiles for Convergence Confinement Analysis of Deep Tunnels, Rock Mech Rock Engng (2009)

Vlachopoulos, Diederichs, Appropriate Uses and Practical Limitations of 2D Numerical Analysis of Tunnels and Tunnel Support Response, Geotech Geol Eng (2014)

Champagne de Labriolle, Amélioration des méthodes analytiques basées sur des concepts simples pour le dimensionnement des tunnels superficiels et profonds en sol meuble, Rev. Franç. Géotech. (2017)

Oke, Vlachopoulos, Diederichs, Improvement to the Convergence-Confinement Method: Inclusion of Support Installation Proximity and Stiffness, Rock Mechanics and Rock Engineering (2018)

Panet, Sulem, Le calcul des tunnels par la méthode convergence-confinement, Presses des Ponts (2021)